Подходящая математическая модель

(Читатели - не математики могут пропустить этот раздел.)

Для успокоения совести следует разрешить видимый парадокс, отмеченный выше (обнаружение того, что MB не является подмножеством MA), так как мы хотим, чтобы некоторое отношение подмножества имело место между наследником и родителем. И это отношение реально существует, парадокс лишь показывает, что декартово произведение атрибутов не является подходящей моделью для моделирования класса. Рассмотрим класс:

class C feature c1: T1 c2: T2 c3: T3 end

Мы не должны выбирать в качестве математической модели C' - множества экземпляров C - декартово произведение T'1 _ T'2 _ T'3, где знак штрих ' указывает на рекурсивное использование модели множеств, приводящее к парадоксу (наряду с другими недостатками).

Вместо этого, следует рассматривать любой экземпляр как частичную функцию, отображающую множество возможных имен атрибутов ATTRIBUTE в множество возможных значений VALUE, со следующими свойствами:

A1 Функция определена для c1, c2 и c3.
A2 Множество VALUE (множество цели для функции) является супермножеством T'1
T'2
T'3.
A3 Значения функции для c1 лежат в T'1 и так далее.

Тогда, если вспомнить, что функция является специальным случаем отношения и что отношение является множеством пар (например, в ранее упоминаемом случае экземпляр класса A может быть промоделирован функцией {<a1, 25>}, а экземпляр класса B - {<a1, 1>, <b1, -2.5>}), мы получаем ожидаемое свойство - B' является подмножеством A'. Заметьте, здесь уже элементы обоих множеств являются парами и первая функция задает все возможные отображения второго атрибута.

Заметьте также, что принципиально важно установить свойство A1 как "Функция определена для...", но не в виде "Областью определения функции является...", что ограничивало бы область множеством {c1, c2 c3}, не позволяя потомкам добавлять свои собственные атрибуты. Как результат такого подхода, каждый программный объект моделируется неограниченным числом математических объектов.

Это обсуждение дает только схему математической модели. С деталями использования частичных функций для моделирования кортежей и общими математическими основами можно ознакомиться в [M 1990].

Содержание раздела